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Tout au long des siècles, les rapports entre les arts et les mathématiques dans le monde occidental furent fréquents. Parfois les mathématiques offrirent un langage permettant de décrire et de mieux comprendre certains aspects des arts ; parfois, au contraire, les arts introduisirent d’eux-mêmes des éléments mathématiques. Il arrive que ce dialogue interdisciplinaire s’inscrive au sein même de l’esthétique artistique.Le lien entre musique, danse et mathématiques se retrouve également dans des questions esthétiques, compositionnelles et chorégraphiques. Pour accéder au dossier complet : Musique, danse et mathématiques
Avant Pythagore, la musique et ses notes étaient chantées intuitivement sans fondement théorique dans le monde occidental. Au VIe siècle avant J.-C., le philosophe, mathématicien et scientifique de renom, découvrit la loi physique fondamentale de la musique en lien avec la mystique du nombre.
Pour les savants et les philosophes grecs de l’époque, l’observation des lois du monde devait conduire à deviner les intentions divines. Les arts et les sciences s’inscrivent dans cet objectif. Plongés dans un univers énigmatique, les intellectuels grecs n’ont eu de cesse de tenter d’y trouver un ordre.
L’école pythagoricienne soutenait ainsi l’idée d’une relation entre les nombres et l’ordre universel. Pythagore relia donc le nombre à la musique avec l’idée que « l’harmonie » de deux sons joués ensemble, simultanément ou successivement, pouvait s’expliquer mathématiquement, affirmant de cette manière que musique et nombres étaient intimement liés par les lois de l’harmonie. C’est la relation qui existe entre les consonances, cet ensemble de sons agréables à l’oreille, et les rapports de fréquence entre les sons.
Légende purement symbolique, certains traités antiques et médiévaux rapportent qu’en se promenant aux abords de la boutique d’un forgeron, Pythagore fut interpellé par le fait que les garçons travaillant dans la forge, frappant la même enclume, produisaient des sons très différents. Comprenant que le poids des matériaux en était la cause, le philosophe fera le lien entre le phénomène sonore et la science des nombres : les intervalles musicaux étaient en correspondance avec la masse des marteaux. Ceux produisant des sonorités harmonieuses pesaient 6, 8, 9 et 12 livres. Toutes les associations de deux sons, à l’exception de l’association 8 et 9, se révélaient à l’origine de sons harmonieux. Pythagore le vérifiera par la suite grâce à la création d’un instrument de musique, le monocorde.
Le monocorde, à l’origine de la gamme pythagoricienne
Le monocorde est une longue caisse rectangulaire étroite, sur laquelle une corde est tendue au moyen, soit de deux chevilles, soit d’une cheville fixe et d’un poids que l’on peut faire varier. D’un mètre de longueur, la corde est sur une table de division où décimètres, centimètres et millimètres sont indiqués. Un chevalet mobile délimite à volonté la portion de la corde sur laquelle on veut expérimenter.
L’expérience est toute simple puisque au moyen d’un élastique tendu au-dessus d’une table, en fonction de l’endroit où l’on place le doigt, on obtient une longueur de corde de chaque côté qui, quand on les pince, font entendre une note grave et l’autre plus aiguë. Grâce à cela, Pythagore relève que la production des sons harmonieux s’induit des rapports en nombres entiers des longueurs des cordes entrant en vibrations.
Ainsi, plus une corde est longue, grosse, lourde et faiblement tendue, plus ses vibrations sont lentes, et plus par conséquent le son est grave. Plus une corde est courte, fine, légère et fortement tendue, plus ses vibrations sont rapides, et par conséquent le son est aigu.
La corde entière donne le son fondamental – ou son naturel – qui sert de note de référence. En plaçant le chevalet au milieu de la corde on obtient l’octave ; le rapport d’octave est de 1/2. En plaçant le chevalet au tiers de la corde, le côté long donne la quinte du son fondamental (le rapport de quinte est de 2/3) alors que le côté court donne la quarte de la quinte ainsi formée (la rapport de quarte est de 1/3). Pour obtenir des sons harmonieux, il suffit de poursuivre en raccourcissant toujours les longueurs de cordes par tiers. Pythagore fut donc le premier à établir les quatre consonances fondamentales de la gamme musicale que sont l’unisson (de rapport 1/1), l’octave (1/2), la quinte (2/3) et la quarte (3/4).
Le comma pythagoricien et la quinte du loup
Mais sur le monocorde, la formation de sept octaves successives ne correspond pas précisément, sur le plan acoustique, à la formation de douze quintes successives. A partir d’une note donnée, il faut multiplier sa fréquence par 2 pour monter d’une octave. De la même manière, il faut multiplier sa fréquence par 3/2 pour monter d’une quinte. Ainsi, quand on monte de sept octaves, cela donne 27 = 128 et quand on monte de douze quintes, cela donne (3/2)12 ≈ 129,75. La différence entre sept octaves et douze quintes sera appelée plus tardivement le comma pythagoricien à l’origine des tempéraments d’accord.
La subdivision des octaves en quintes et quartes permet de retrouver les douze demi-tons correspondant aux douze notes actuelles. Mais le fait que douze quintes ne soient pas exactement égales à sept octaves pose un problème d’accord : malgré le comma pythagoricien, il faut que toutes les octaves soient justes. La répartition du comma entre les douze notes définit le type de tempérament.
De cette suite de quintes justes a été créée la gamme pythagoricienne, non pas par Pythagore lui-même mais par ses disciples. Cette gamme pythagoricienne comporte donc onze quintes justes et une quinte fausse. La douzième quinte diminuée pour former l’octave juste, est la « quinte du loup ».
Le système à tempérament égaux actuel, est basé sur les éléments posés par Pythagore, mais il a été déformé pour des raisons techniques qui se sont imposées dans la musique occidentale, particulièrement en raison des instruments à clavier de référence comme l’orgue, le clavecin puis le piano. Toutes les subtilités du système pythagoricien ont ainsi été largement simplifiées.
Crédits photographiques : images libres de droit
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Tout au long des siècles, les rapports entre les arts et les mathématiques dans le monde occidental furent fréquents. Parfois les mathématiques offrirent un langage permettant de décrire et de mieux comprendre certains aspects des arts ; parfois, au contraire, les arts introduisirent d’eux-mêmes des éléments mathématiques. Il arrive que ce dialogue interdisciplinaire s’inscrive au sein même de l’esthétique artistique.Le lien entre musique, danse et mathématiques se retrouve également dans des questions esthétiques, compositionnelles et chorégraphiques. Pour accéder au dossier complet : Musique, danse et mathématiques
Il me semble que le rapport de quarte est de 3/4 et non de 1/3 comme il est écrit dans l’article.